COMPOSIÇÃO CARTEIRA DE AÇÕES COM RISCO MÍNIMO
É Possível calcular a composição de uma carteira de ações com o risco mínimo para um retorno especificado.
É necessário um pouco de conhecimento de estatística e de indicadores de risco, alem da compreensão da fronteira eficiente de Marcowitz.
Os passos para o cálculo, entretanto, são simples:
1. Escolha as ações que desejam que façam parte o portfólio;
2. Faça a coleta de dados das cotações históricas mensais (pode ser obtido no site www.yahoo.com.br/finance, ou em vários outros, inclusive na própria Bovespa);
3. Elabore uma planilha com as variações percentuais das cotações;
4. Para cada ativo calcule os indicadores:
a) E(R) – Retorno Esperado, que pode ser a média aritmética simples dos percentuais dos ativos;
b) Risco (σ) - desvio padrão das ações. Facilmente calculado no Excel;
c) Beta (β) – medida do risco não diversificável. Pode-se considerar o risco mercado com o risco da carteira teórica do Ibovespa. Neste caso o β é igual a 1. Calcular o β de cada ação em relação ao Ibovespa.
5. Calcule a matriz de covariancia entre os ativos (também facilmente calculada pelo Excel)
6. Estabeleça os parâmetros lineares para um problema de Pesquisa Operacional, como segue:
a) Função Objetivo: Mnimizar o risco conjunto entre as ações dado o retorno esperado. A menor variancia possível.
b) Estabeleça as restrições: Percentual total do ativos = 100%; Retorno encontrado deve ser maior que o desejado; Valor Percentual de cada empresa >=0;
c) Determine as células variáveis que deve ser as que contém os percentuais dos ativos.
7. Faça uma tabela com termos de a variância. Pode se utilizar a formula= %ativo*somarproduto(LxCy:lxCz;LtCy:LjCz), disponível no Excel. Calcule os termos de retornos em uma segunda linha da tabela, multiplicando-se o retorno esperado pelo percentual da carteira.
8. Calcule o Risco, Retorno Desejado e Retorno do Portfólio: a) Variância – soma das variâncias encontradas acima; b) Risco – Desvio padrão = Raiz quadrada da variância; c) Retorno – soma dos termos de retorno acima.
9. Finalmente, basta utilizar a ferramenta Solver do Excel.
Assim, encontraremos a composição adequada.
Exemplo Prático:
1. Escolha de ações. Vou fazer uma escolha aleatória de 5 ativos (por uma questão de melhor visualização), quais sejam: PETR4, CESP3, UOLL4, BEEF3 e BEMA3.
2. Coleta de dados, conforme tabela abaixo:
Fonte: www.guiainvest.com.br
Data
|
Ibovespa
|
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
|
Data
|
Enc ajustado*
|
Fech
|
Fech
|
Fech
|
Fech
|
Fech
|
30/12/2010
|
70.423,00
|
27,29
|
21,90
|
13,27
|
6,82
|
41,50
|
30/11/2010
|
69.305,00
|
24,40
|
21,40
|
10,94
|
6,50
|
42,50
|
29/10/2010
|
67.705,00
|
25,51
|
20,92
|
10,20
|
6,16
|
39,31
|
30/9/2010
|
70.673,00
|
26,94
|
19,29
|
9,70
|
6,92
|
37,63
|
31/8/2010
|
69.430,00
|
25,72
|
19,83
|
9,69
|
6,82
|
33,47
|
30/7/2010
|
65.145,00
|
27,29
|
19,33
|
9,14
|
6,90
|
34,62
|
30/6/2010
|
67.515,00
|
26,32
|
18,84
|
9,19
|
6,85
|
31,39
|
31/5/2010
|
60.936,00
|
29,01
|
17,85
|
9,29
|
6,60
|
29,68
|
30/4/2010
|
63.047,00
|
31,91
|
19,11
|
9,98
|
7,28
|
28,62
|
31/3/2010
|
67.530,00
|
34,29
|
19,38
|
10,39
|
7,58
|
29,40
|
26/2/2010
|
70.372,00
|
33,54
|
18,61
|
9,93
|
6,64
|
28,08
|
29/1/2010
|
66.503,00
|
33,11
|
19,55
|
9,19
|
6,90
|
27,97
|
3. Elaborando planilha com as variações percentuais das cotações, utilizando a fórmula LN (cotação x/Cotação Y). Ex: PETR4 de 30/12 para PETR4 de 30/11: Ln (27,29/24,40) = 11,19%.
Ibovespa
|
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
|
1,60%
|
11,19%
|
2,31%
|
19,31%
|
4,81%
|
-2,38%
|
2,34%
|
-4,45%
|
2,27%
|
7,00%
|
5,37%
|
7,80%
|
-4,29%
|
-5,45%
|
8,11%
|
5,03%
|
-11,63%
|
4,37%
|
1,77%
|
4,63%
|
-2,76%
|
0,10%
|
1,46%
|
11,72%
|
6,37%
|
-5,93%
|
2,55%
|
5,84%
|
-1,17%
|
-3,38%
|
-3,57%
|
3,62%
|
2,57%
|
-0,55%
|
0,73%
|
9,79%
|
10,25%
|
-9,73%
|
5,40%
|
-1,08%
|
3,72%
|
5,60%
|
-3,41%
|
-9,53%
|
-6,82%
|
-7,16%
|
-9,81%
|
3,64%
|
-6,87%
|
-7,19%
|
-1,40%
|
-4,03%
|
-4,04%
|
-2,69%
|
-4,12%
|
2,21%
|
4,05%
|
4,53%
|
13,24%
|
4,59%
|
5,65%
|
1,29%
|
-4,93%
|
7,74%
|
-3,84%
|
0,39%
|
4. Cálculo dos indicadores:
E(R) – Retorno esperado ou expectativa de retorno. Este item pode ser obtido de várias formas, como: Média dos retornos históricos, Custo de Oportunidade + Prêmio pelo risco (o modelo CAPM prevê E(R) = Rf + (Rm – Rf)*β), etc. Neste caso farei uma simples atribuição de E(R) de 6% no período para a carteira como um todo e considerarei o retorno por cada ativo como 2 vezes do desvio padrão das cotações diárias de 21 dias úteis. Para uma simplificação você pode utilizar a media aritmética simples dos retornos mensais com um simples cálculo SOMA RETORNOS/Período (Ex: para PETR4 R(e) = (11,19 %-4,45% -5,45% +4,63% -5,93% +3,62% -9,73% – 9,53% – 7,19% +2,21%+1,29%)/11 = -1,06%)
σ - Risco como desvio padrão, também considerei 2 dp da media diária de 21 dias úteis. Mas pode ser calculado com a função DESVPAD do Excel, por exemplo para PETR4 = DESVPAD (B18:B28), onde a célula B18 corresponde ao retorno de 11,19% e a célula B28 ao retorno de 1,29%, conforme tabela acima. Neste cálculo o desvio padrão da PETR será 6,74%).
A opção que fiz por considerar o risco e o retorno com base em dois desvios padrões e o período de 21 dias úteis diz respeito a um acompanhamento diário da evolução dos ativos e uma forma própria de mensuração, os cálculos podem serem feitos da forma acima explicada para maior simplificação.
Para o Ibovespa, considerei o retorno com média e cálculo de 1 desvio padrão.
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
| ||
Ret Esperado
|
0,52%
|
3,30%
|
3,07%
|
5,25%
|
1,38%
|
13,49%
|
Risco
|
5,41%
|
2,60%
|
6,45%
|
14,03%
|
4,52%
|
6,17%
|
5. Matriz de Covariância: pode ser calculada com a função do Excel COVAR
Ex: PETR4: COVAR(C18:C28;C18:c28), COVAR(C18:C28;D18:D28), COVAR(C18:C28;E18:E28), COVAR(C18:C28;F18:F28) COVAR(C18:C28;G18:G28) na primeira linha.
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
| |
PETR4
|
0,41%
|
0,00%
|
0,29%
|
0,20%
|
0,03%
|
CESP3
|
0,00%
|
0,19%
|
0,10%
|
0,08%
|
0,02%
|
UOLL4
|
0,29%
|
0,10%
|
0,46%
|
0,16%
|
-0,11%
|
BEEF3
|
0,20%
|
0,08%
|
0,16%
|
0,46%
|
0,06%
|
IGTA3
|
0,03%
|
0,02%
|
-0,11%
|
0,06%
|
0,24%
|
6. Parâmetros para o cálculo linear:
Função Objetivo: Calcular os percentuais de alocação com a menor variância possível para o retorno desejado.
Variáveis: Percentuais de alocação desejado.
Restrições: Cada Percentual de alocação >=0;
A soma dos percentuais de alocação deve ser 100%.
O valor de retorno deve ser >= 6%
Não colocar mais de 25% do portfólio em um único ativo (percentual de alocação <=25%)
7. Elaboração de tabela com termos de variância. Esta variância pode ser calculada utilizando-se a função SOMARPRODUTO do Excel. Vamos estabelecer um portfólio inicial de alocação, digamos 20% em cada ativo. O Calculo da variância dado pela fórmula = Wx*somarproduto(Matri1; Matriz2), onde Matriz1 é igual aos pecertuais alocados e a Matriz dois a covariância de cada ativo em relação aos demais). Ex para PETR4: Var = =C44*SOMARPRODUTO($C$44:$G$44;C35:G35), onde C44 = 20%, C44:g44 a seleção das alocações, C35:G35 a seleção das covariancias.
O retorno é o retorno esperado para o ativo vezes o percentual de alocação. Para PETR4 R = 20%* 3,30% = 0,66%.
Portfolio Existente
| |||||||
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
| |||
% portfólio
|
20,00%
|
20,00%
|
20,00%
|
20,00%
|
20,00%
|
100,00%
| |
Retorno Esperado Médio
|
3,30%
|
3,07%
|
5,25%
|
1,38%
|
13,49%
| ||
Variancia Atual
|
0,0371%
|
0,0151%
|
0,0359%
|
0,0387%
|
0,0044%
| ||
Retorno
|
0,66%
|
0,61%
|
1,05%
|
0,28%
|
2,70%
| ||
Variancia
|
0,13%
| ||||||
Desvio padrao
|
3,62%
| ||||||
Retorno
|
5,30%
| ||||||
Por fim estabelecemos a variância da carteira = soma das variâncias = 0,0319%+0,0195%+0,0337%+0,0156%+0,0058% = 0,11%.
O Desvio padrão, que é a raiz da variância = RAIZ(0,11%) = 3,26 %
O retorno esperado: 6,00% (atribuído)
Após otimização pelo solver, conforme tela abaixo, teremos:
Portfolio Otimizado
| |||||||||
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
| |||||
% portfólio
|
19,22%
|
25,00%
|
20,68%
|
10,10%
|
25,00%
|
100,00%
| |||
Retorno Esperado Médio
|
3,30%
|
3,07%
|
5,25%
|
1,38%
|
13,49%
| ||||
Variancia Atual
|
0,0319%
|
0,0195%
|
0,0337%
|
0,0156%
|
0,0058%
| ||||
Retorno
|
0,63%
|
0,77%
|
1,09%
|
0,14%
|
3,37%
| ||||
Variancia
|
0,11%
| ||||||||
Desvio padrao
|
3,26%
| ||||||||
Retorno
|
6,00%
| ||||||||
Observe que para um retorno esperado de 6% a variância calculada é de 0,11%, inferior à original.
Para a composição acima, vejamos resultados:
Resultados - Análise
| ||||||
CARTEIRA
|
PETR4
|
CESP3
|
UOLL4
|
BEEF3
|
IGTA3
| |
E(R)
|
6,00%
|
0,63%
|
0,77%
|
1,09%
|
0,14%
|
3,37%
|
Risco
|
3,26%
|
2,60%
|
6,45%
|
14,03%
|
4,52%
|
6,17%
|
